Dériver une fonction composée

Théorème

Soit $u$  une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$  et soit $v$  une fonction définie et dérivable sur un intervalle $J$ .
On suppose de plus que, pour tout $x\in I,u(x)\in J$ .
Alors la fonction $v\circ u$  est dérivable sur $I$  et $\boxed{{\displaystyle (v\circ u{)}^{\prime }=u^{\prime }\times (v^{\prime }\circ u)}}$ .

Exemple

On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=(4x-3{)}^5$ .
$f=v\circ u$  où $u$  est la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par $u(x)=4x-3$  et $v$  est la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par $v(x)=x^5$ .
La fonction  $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$  et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},u^{\prime }(x)=4$ .
La fonction  $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$  et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},v^{\prime }(x)=5x^4$ .
La fonction  $f$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$  et $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\times (v^{\prime }\circ u)(x)$ .

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=4\times v^{\prime }(u(x))$ .

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=4\times v^{\prime }(4x-3)$ .

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=4\times 5(4x-3{)}^4$ .

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=20\times (4x-3{)}^4$ .