Dériver une fonction composée

Théorème

Soit \(u\)  une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\)  et soit \(v\)  une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(J\) .
On suppose de plus que, pour tout \(x \in I,\ u(x) \in J\) .
Alors la fonction \(v \circ u\)  est dérivable sur \(I\)  et \(\boxed{(v \circ u)'=u' \times (v'\circ u)}\) .

Exemple

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=(4x-3)^5\) .
\(f= v \circ u\)  où \(u\)  est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(u(x)=4x-3\)  et \(v\)  est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(v(x)=x^5\) .
La fonction  \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ u'(x)=4\) .
La fonction  \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ v'(x)=5x^4\) .
La fonction  \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=u'(x) \times (v'\circ u)(x)\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=4 \times v'(u(x))\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=4 \times v'(4x-3)\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=4 \times 5(4x-3)^4\) .

\(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=20\times (4x-3)^4\) .